Vorlage:D’Alembert-Operator

Der  D’Alembert-Operator $◻$ ist ein  Differentialoperator zweiter Ordnung, der auf Funktionen $f(t,x_1,\dots ,x_{d-1})$ der $d$-dimensionalen Raumzeit wirkt (z. B. $d=4$).

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\sum _{i=1}^{d-1}\frac{{\partial }^2}{\partial x_i{}^2}.$

Sein Formelzeichen $◻$ (gesprochen Box) ähnelt dem des  Laplace-Operators $\mathrm{\Delta }$ und es gilt die Beziehung

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\Delta }}_x.$

Der D'Alembert-Operator ist der Differentialoperator der  Wellengleichung und der  Klein-Gordon-Gleichung und heißt auch Wellenoperator oder Quabla-Operator.

In der Physik wird auch die Konvention verwendet, dass die Zeit-Koordinate $t$ in der obig angegebenen Gleichung mit der Geschwindigkeit $c$ zusammengefasst wird. Diese Zusammenfassung lässt sich wiederum als Wegstrecke interpretieren. Dabei wäre die Koordinate $\tau =ct$ die Strecke, die von der Welle in der Zeit $t$ mit der Geschwindigkeit $c$ durchlaufen wird.

Lorentzinvarianz des D'Alembert-Operators

Die Koeffizienten der zweiten Ableitungen im Wellenoperator sind die Komponenten der (inversen)   Raumzeitmetrik

$◻={\eta }^{mn}{\partial }_{x^m}{\partial }_{x^n},\eta =\text{diag}(1,-1,\dots ,-1).$

In der ebenso verbreiteten Konvention, das Negative dieser  quadratischen Form, $\text{diag}(-1,+1,\dots ,+1)$, als Raumzeitmetrik zu bezeichnen, steht $◻$ für das Negative des hier definierten D'Alembert-Operators.

So wie die Raumzeitmetrik $\eta$ ist der D'Alembert-Operator $◻$ invariant unter Translationen und  Lorentztransformationen $\mathrm{\Lambda }$. Angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen $f\circ {\mathrm{\Lambda }}^{-1}$ ergibt er dasselbe, wie die Lorentzverkettete abgeleitete Funktion

$(◻f)\circ {\mathrm{\Lambda }}^{-1}=◻(f\circ {\mathrm{\Lambda }}^{-1}).$

Greensche Funktion

Eine  Greensche Funktion $G(t,t^{\prime },x,x^{\prime })$ des D'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung

$◻(t,\mathbf{𝐱})G(t-t^{\prime },\mathbf{𝐱}-{\mathbf{𝐱}}^{\prime })=\delta (t-t^{\prime })\delta (\mathbf{𝐱}-{\mathbf{𝐱}}^{\prime })$.

Dabei bezeichnet $\delta$ die Diracsche  Delta-Distribution. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt $G$ nur von den Differenzen $(t-t^{\prime })$ sowie $(x-x^{\prime })$ ab, weshalb wir  ohne Beschränkung der Allgemeinheit die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die  Fouriertransformierte $G(\omega ,k)$

$G(t,\mathbf{𝐱})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\iint d\omega d^3\mathbf{𝐤}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-\mathbf{𝐤}\mathbf{𝐱})}G(\omega ,\mathbf{𝐤})$

ergibt sich dann folgende  algebraische Gleichung:

$G(\omega ,\mathbf{𝐤})=\frac{1}{-(\omega /c{)}^2+k^2}$

Die  Polstellen von $G(\omega ,k)$ liegen genau dort, wo die  Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen im {{WP|Vakuum} (${\omega }^2=c^2{k}^2$) erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für  Antwortfunktionen typisches  Resonanzverhalten ist.

Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die  analytische Fortsetzung von $G(\omega ,k)$ für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des  Residuenkalküls kann man die Pole bei $|\omega |=ck$ „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:

Typ	$G(\omega ,\mathbf{𝐤})$	$G(t,x)$
Retardiert $G^{+}$	$\frac{1}{-(\omega /c+\mathrm{i}ϵ{)}^2+k^2}$	$\frac{1}{4\pi x}\delta (t-\frac{x}{c})\mathrm{\Theta }(t)$
Avanciert $G^{-}$	$\frac{1}{-(\omega /c-\mathrm{i}ϵ{)}^2+k^2}$	$\frac{1}{4\pi x}\delta (t+\frac{x}{c})\mathrm{\Theta }(-t)$

Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im  Grenzwert $ϵ\to 0^{+}$ zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.

Der Faktor $t-x/c$ entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer  Kugelwelle.

Literatur

•  Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II. 6. Auflage. Springer Spektrum Akademischer Verlag, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9.